Равенство значений площади и периметра ряда двумерных фигур, объема и площади – трехмерных

«Бог всегда остается геометром»

Платон

«Бог действует как величайший геометр, который предпочитает наилучшее решение задач»

Г.В. Лейбниц

Аннотация. Рассматриваются возможные варианты равенства значений площади и периметра ряда двумерных фигур (квадрат, круг, прямоугольный, тупоугольный и равносторонний треугольники), объема и площади – трехмерных (платоновы тела, конус, цилиндр, пирамида и сфера).

Ключевые слова: равенство значений, двумерные фигуры, трехмерные фигуры, параметры геометрических фигур, периметр, объем, площадь.

Введение. В одной из своих публикаций [1] рассматривались возможные случаи равенства (числового равенства) ряда двумерных и трехмерных геометрических фигур. По мере накопления материала исследования количество такого рода фигур возросло. И может еще возрасти силами любителей геометрии. В этом отношении есть надежда, что значительно пополнив «реестр» подобных геометрических фигур может быть сформулирована очень красивая теорема.

Основная часть. Расчеты параметров ряда двумерных и трехмерных фигур производились посредством онлайн калькулятора «Geleot». Расчеты, требующие точности более трех знаков после запятой, производились самостоятельно на основе соответствующих формул, с помощью калькулятора.

По результатам расчетов выявлены следующие числовые равенства площади и периметра ряда двумерных фигур:

– квадрата, когда сторона равна 4 (площадь и длина периметра, соответственно, будут равны значению 16), радиус вписанного круга равен 2, а описанного – значению √8, диагональ квадрата равна √32;

– круга, когда наблюдается равенство площади и длины окружности при значении 12,566… или 4 π (радиус вписанного круга равен 2);

– прямоугольных треугольников с иррациональным значением площади и периметра, когда площадь и длина периметра первого равна значению 27,416324… ₌(√5+3)² (где меньший катет – 5,236… будет равен √27,416324…, а больший – удвоенному значению меньшего – 10,472 …) и второго, когда катеты равны 6,8285… ₌(√2+2)×2 – при значении площади и периметра 23,314… ₌(√8+2)². Радиус вписанного в треугольник круга равен 2 (рисунок 1, таблица);

– героновых треугольников со сторонами: (5, 12, 13 и 6, 8, 10 – прямоугольные треугольники), когда площадь и периметр первого равен значению 30, а второго – 24 (рисунок 1, таблица); 6, 25, 29; 7, 15, 20 и 9, 10, 17 … (тупоугольные треугольники с площадью и периметром равные соответственно 60, 42, 36), радиус вписанного в названные треугольники круга равен 2;

– равностороннего прямоугольного треугольника, при значении площади 20,7846… или =√3×12 (при этом длина стороны равна 6,928…₌√48 или =√3×4), радиус вписанного круга равен 2.

Рисунок 1 — Наглядное представление различных четырех возможных прямоугольных треугольников удовлетворяющих равенству S=P

Таблица – Формулы для построения треугольников удовлетворяющих равенству S=P

По результатам расчетов выявлены следующие числовые равенства объема и площади ряда трехмерных фигур (в том числе – так называемых «платоновых тел» (рисунок 2):

– сферы (равенство объема и площади поверхности) равной значению 113,097335526… или 36 π (при этом диаметр сферы равен 6, а ее окружность – 18,85…=6 π), радиус вписанной сферы равен 3;

– тетраэдра (равенство площади и объема) равной значению 374,12297443487745… =216×√3 (при этом длина ребра равна 14,69693845669907…=√216), радиус вписанной сферы равен 3;

– куба при грани равной значению √8, объем и площадь поверхности куба – 216, радиус вписанной сферы равен 3;

– октаэдра (равенство площади и объема) равной значению 187,0614872174385… =108×√3 (при этом длина ребра равна 7,348469228349534…=√54), радиус вписанной сферы равен 3;

– додекаэдра (равенство площади и объема) равной значению 149,8578577699187… (при этом длина ребра равна 2,694167859477512…), радиус вписанной сферы равен 3;

– икосаэдра (равенство площади и объема) равной значению 136,4595158771704… (при этом длина ребра равна 3,969507229497645…), радиус вписанной сферы равен 3;

Рисунок 2 – Платоновы тела (без додекаэдра) имеющие линейные размеры на основании размера вписанной в них сферы радиусом в 3 условных единицы

– цилиндра (равенство площади и объема) равной значению 54π ≈ 169,646… (при этом радиус равен 3, а высота – удвоенному значению радиуса – 6). Площадь боковой поверхности равна 113,097… (объем и площадь вписанной в фигуру сферы) или 36π, а площадь одного из двух оснований – 9π, радиус вписанной сферы равен 3. Объем цилиндра больше объема вписанной в него сферы (где есть равенство значений площади и объема) ровно в 1,5 раза;

– конуса (равенство площади и объема) равной значению 96π ≈ 301,593… (при этом радиус основания равен 6, образующая – 10, а высота – фигуры – 8). Площадь основания (круга) равна 113,097… (объем и площадь вписанной в фигуру сферы) или 36π, площадь боковой поверхности, соответственно, – 60π, радиус вписанной сферы равен 3;

– трехгранной пирамиды (равенство площади и объема тетраэдра) при высоте 12, стороне основания – 14,6969384567…₌√216 и равно значению 374,123…, радиус вписанной сферы равен 3;

– четырехгранной пирамиды (равенство площади и объема) при высоте 12, стороне основания – 8,485281374…₌√72 и равно 288. Отношение высоты к стороне основания – √2. При этом площадь боковой поверхности пирамиды в три раза больше площади основания (216 и 72), радиус вписанной сферы равен 3;

– шестигранной пирамиды при высоте 12, стороне основания – 4,898979485…₌√24 и равно 249.415…, радиус вписанной сферы равен 3.

На основании проведенных расчетов сформулировано заключение:

в двумерных фигурах: квадрат, круг, прямоугольный, тупоугольный и равносторонний треугольники радиус вписанной окружности при равенстве значений площади и периметра равен 2;

в трехмерных фигурах тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр, конус, цилиндр, 3-4-6-гранная пирамида и сфера радиус вписанной окружности при равенстве значений площади и объема равен 3.