О таблицах стрельбы, часть IVа (практически ничего о таблицах стрельбы, зато много математики)

Статья из жж Андрея Фирсова.

Текст Анатолия Сорокина

Это всё он! В отличие от некоторых “отменяторов”, мы его заслуги помним. Упёртых монархистов на целом свете было много, но из всех них самый знаменитый – именно он, причём вовсе не из-за его твёрдокаменных монархистко-клерикальных взглядов. Подвести строгую доказательную базу под весь математический анализ и получить на её основе огромное множество результатов (причём ещё и в смежных дисциплинах, включая физику) до него так никто и не смог – ни Ньютон, ни Лейбниц, ни Лаплас с Лагранжем и Эйлером, ни даже «король математиков» Гаусс. А мсье Коши смог и нет более поминаемого персонажа на лекциях по математическому анализу среди младшекурсников соответствующей направленности.

Как утверждал в одном из недавних постов, математика – это круто, вот ей в качестве своеобразной подготовки к одному короткому выводу и займёмся. Суть математики – преобразования одних умозрительных донельзя абстрактных конструктов в другие. Там такие превращения случаются, что сам Гарри Потный обзавидуется. Но для их понимания требуется недюжинный интеллект, так что ограничимся довольно «приземлёнными» с точки зрения математиков сущностями, имеющими близкую связь с реальной жизнью. А именно множеством вещественных чисел R.

Пусть у нас есть некое правило, «превращающее» одно вещественное число x (необязательно со всего множества R, достаточно и набора каких-то его подмножеств) в другое вещественное число y. Это преобразование может быть абсолютно любым, лишь бы на его входе был упомянутый выше x, а на выходе – y. Для хохмы возьмём x в диапазоне от 1 до 30, затем отбрасываем его дробную часть, если таковая имеется, потом по получившемуся номеру дня сопоставим ему число случаев, когда Байден в тот день сентября 2022 года здоровался с призраками – это и будет величиной y. Пусть она и целочисленна, но целые числа есть подмножество чисел вещественных. К тому же математическая фантазия безгранична, и количество спиритических свиданий наяву у самоходного деда Джо можно расширить и до вещественных чисел. Например, направился он здороваться с духом, но не дошёл, заклинило на полпути – к y добавляется 0,5 вместо 1, когда явление завершилось таки рукопожатием с представителем потустороннего мира.

Смех смехом, но в качестве инструмента оценки степени старческой деменции у действующего президента США и её купирования медиками из его администрации такой математический конструкт вполне себе сгодится. И так напридумывать можно ещё много чего, но на языке математики это будет всего лишь заданием некоторой функции y = F(x), устанавливающей соответствие между x и y.

Случай со «спиритизмом» Байдена, конечно, весьма занимателен, но в реальности куда большее значение имеют зависимости, описывающие физические, химические, биологические и экономические процессы, когда на характер функции F накладываются определённые ограничения, а сама она задаётся некоторой математической формулой. Пусть у нас есть два массивных тела, удалённые на какое-то расстояние. Для силы тяготения между ними Ньютон показал, что она обратно пропорциональна квадрату этого расстояния. Например, если последнее увеличилось вдвое, то сила притяжения уменьшилась вчетверо. Математически это записывается так: если y – значение силы в каких-то условных единицах, а x – расстояния, тоже в каких-то «у. е.», то функция F в нашем случае приобретает вид:

y = F(x) = k / x², где k – коэффициент, зависящий от масс обоих тел и выбора единиц измерения. Физику это ещё как важно, но математику до этого уже глубоко фиолетово, вычленив зависимость от интересующей его величины, он абстрагируется от связанных с ней реалий нашего мира, хоть физических, хоть каких-либо иных. Ему интересны свойства такого преобразования самого по себе, даже если они выходят за рамки физического смысла. Например, много бед физикам-теоретикам приносят явные и скрытые бесконечности в формулах и моделях, а для математика бесконечность – ещё один объект, с которым можно осуществлять преобразования и который можно ввести в аксиоматику.

А замечательных свойств у данного преобразования (т. е. функции) немало. Например, для любого x > 0 эта функция непрерывна и дифференцируема бесконечное число раз. Любому, кто сдавал математический анализ на первом курсе, уже должно послышаться:

Для любого положительного эпсилон найдётся такое положительное дельта, зависящее от эпсилон, что для любого икс …

Ну и так далее – то самое заклинание, вызывающее дух великого и ужасного Луи-Огюстена Коши, который всё это и придумал. Такой подход сначала к пределу числовой последовательности, потом к пределу функции, а через него и к производной произвёл подлинный фурор в научном сообществе своего времени и послужил базой для взрывного развития математического анализа и смежных с ним дисциплин. Сам Коши был в этом настолько плодовит, что его труды тут же прозвали «математическим поносом». Однако, несмотря на такое отношение современников, именно аксиоматику Коши в подавляющем большинстве случаев используют при обосновании математического анализа (хотя есть и альтернативные подходы, но они не получили столь широкого распространения, да и к формализму Коши их тоже можно привести). С этим можно ознакомиться в любом учебнике

… три дня в деканате покойник лежал,
в штаны Пифагора одетый,
в руках Фихтенгольца от томик держал,
что сжил его с белого света …

Студенческий фольклор как раз и поминает классический учебник по предмету Фихтенгольца, хотя автор учился по более позднему Кудрявцеву. Но очень хорошо понятия предела, производной, непрерывности и дифференцируемости изложены на www.mathprofi.ru – ещё раз рекомендую. Хотя сам сайт «заточен» большей частью под решение задач по матанализу на первом и втором курсе, там есть и очень доходчиво изложенные теоретические основы соответствующих понятий, и мимо Огюстена-Луи Коши там, естественно, не прошли.

А нам для дальнейшего нужно понятие дифференцируемой функции. Ну вот как его объяснить попроще, без тех самых заклинаний про дельту и эпсилон? Попробуем пояснить это на «школьном» уровне графиков функций. Пусть у нас есть какая-то «кривая» на графике функция, хоть та же любимая педагогами парабола y = x², с рогами кверху и «ямой» внизу. Так вот, если в окрестности некоей точки этой кривой последняя до чёртиков мало отличается от некоторой проходящей через эту точку прямой линии и слева, и справа одновременно (у математиков такая прямая называется касательной), то функция в этой точке дифференцируема. Для упомянутой параболы рассмотрим окрестность точки x = 1:

Прямая y = 2*x – 1 как раз и является касательной к параболе y = x² в точке x = 1. Так вот, такой фокус «спрямления» кривой на плоскости в окрестности какой-то точки можно проделывать только с дифференцируемыми в этой точке функциями. В таблицах стрельбы это вовсю используется при расчёте поправок – там полно «кривых» (т. е. нелинейных) зависимостей одних величин от других, подвергающимися такому «спрямлению» (линеаризации по-научному). Но это только присказка, сказка будет впереди.

А тут резюмируем: если некая функция дифференцируема, то её можно на малюсеньком участке (насколько малюсеньком – зависит от характера этой функции, но его всегда можно найти) можно с очень высокой точностью подменить линейной зависимостью. И она гарантирует нам, что если аргумент функции чуть-чуть изменится, то и её значение тоже изменится пропорционально этому отклонению аргумента, на немного и без каких-либо скачков, всё гладко (почему дифференцируемые функции ещё называют «гладкими»). Так говорит Коши! А к чему это приводит – уже в следующий раз.

источник: https://afirsov.livejournal.com/934905.html