В одноименном рассказе американского фантаста Артура Порджеса ученый-математик Саймон Флэгг и дьявол заключают традиционный договор о продаже души с условием, что последний за 24 часа ответит на один-единственный вопрос. А вопрос гласит: «Верна ли великая теорема Ферма?»
Более 350 лет математики всего мира безуспешно ищут ответ на этот вопрос. Не находит его и дьявол. Изучив за 10 часов все без исключения разделы современной математики и потратив остальное время на собственные изыскания, он за 10 минут до истечения срока появляется с пачкой исписанных листков, швыряет их на пол и топчет ногами. И, признав свое поражение, исчезает… Однако спустя несколько минут появляется вновь и вместе с человеком начинает искать ответ на поставленный вопрос. Миссис Флэгг удаляется варить кофе. Что же было дальше?
– Так какие же мысли у вас возникли?
Саймон пододвинул к себе стопку измятых бумажек. Дьявол извлек из нее три листка и разложил в порядке очередности.
– Понимаете, я думаю, что некоторые разделы математики нам не понадобятся и я зря потратил время на их изучение. Ферма был великий математик, но сама эта наука 350 лет назад была попроще, без всех этих новомодных штучек. Поэтому решение нужно искать в тех областях, которые были известны Ферма.
– Дорогой… простите, как мне вас называть? Как-то неудобно…
– Зовите меня Мефи. Так меня звали в школе.
– Так вот, дорогой Мефи. Как вы уже, наверное, знаете, над теоремой ломали головы Эйлер, Дирихле, Лежандр, Ламе…
– И все они искали в записях Ферма методы, которые он использовал. Их-то потом и применяли. Особенно постарался Куммер. Надо отдать ему должное — он немало сделал. Но вместе с тем, на мой взгляд, пустил всех последующих математиков по ложному следу. Но почему бы не предположить, что Ферма выбрал совершенно оригинальный путь? Не зря же он написал на полях «Арифметики» Диофанта, что нашел «поистине чудесное доказательство»… Значит, оно было необычным для него самого.
– Ну и что вы предлагаете?
– Нам нужно доказать, что х↑n +у↑n<>z↑п при х, y,z, п — целых положительных числах и п >2.
Предположим, что теорема неверна, то есть
х↑n + у↑ n = z ↑ п (l)
Представим (1) в виде:
А↑2 + В↑2 = С↑2, (2)
где
A = х↑(n/2), В = у↑(n/2),C = z↑(n/2) (3)
Из (2) получим
С↑2 — B↑2=A↑2 (4)
И далее, разложив левую часть на множители:
(С—В)×(С+В)=А↑2 (5)
Равенство (2) есть формула Пифагора для прямоугольного треугольника со сторонами А, В, С.
Теперь расширим условия теоремы. Предположим, что x, у, z – любые положительные числа (не обязательно целые), но условие z—y ≥ 1 (6)
сохраняется. Поскольку в теореме Ферма z и – целые числа, то оно для них справедливо.
Теперь исследуем частный случай формулы (3) при С – В = 1 (как, например, в прямоугольном треугольнике со сторонами, равными 3, 4, 5). В этом случае стороны треугольника связаны соотношением А = (С+В)↑(1/2) = (2×B + 1)↑(1/2) (7)
Построим соответствующую кривую… Вам понятно, Саймон, что у нас получилось?
– Ну разумеется! – вскричал Флэгг. – Для всех прямоугольных треугольников с вершиной на этой прямой С–В=1. Но из условия (6) при n>2 следует:
C–B = z↑(n/2) – y↑(n/2) = (y+l)↑(n/2) – y↑(n/2) > 1 (8)
Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше предположение, что теорема Ферма для данного частного случая несправедлива, неверно…
Дверь отворилась. В комнату вошла миссис Флэгг с подносом в руках. Разлив в чашки кофе и с интересом глянув на возбужденного дьявола, удалилась.
Отхлебнув кофе, Саймон спросил:
– Но как перейти к общему доказательству?
– В том-то и дело… – Дьявол задумался. Вдруг лицо его озарилось догадкой. – Давайте-ка вернемся к нашему предположению, что есть такие числа x1, y1, z1, для которых теорема Ферма неверна и, следовательно:
xl↑n + у1↑n=z1↑n (la)
Сделав опять подстановку (3), получим A1↑2+Bl↑2=C1↑2 (2а)
Поскольку это все та же теорема Пифагора, приходится сделать вывод, что в координатах А, В можно построить такой треугольник с вершинами Al, B1, С1, который не подчиняется теореме Ферма – численные значения его сторон при подстановке (3) удовлетворяют уравнению (1). Но любой такой треугольник в координатах А и В является подобным треугольнику с вершинами А, В, С (назовем его первичным), который удовлетворяет нашей кривой. Его стороны отличаются от сторон первичного треугольника всего-навсего множителем М. – Дьявол молниеносно набросал второй рисунок. – Значит, можно записать (2а) в виде:
(А×М)↑2 + (В×М)↑2 = (С×М) ↑2 (2b)
Но тогда
x1↑(n/2) = х↑(n/2)×М = (х×m)↑(n/2)
y1↑(n/2) = y↑(n/2)×М = (y×m)↑(n/2)
z1↑(n/2) = z↑(n/2)×М = (z×m)↑(n/2) (9)
И вместо (1а) получаем (х×m)↑(n/2) = (y×m)↑(n/2) = (z×m)↑(n/2) (1b)
Сократив в этом соотношении обе части на m в степени n, получим (1). А несправедливость этого равенства мы уже доказали.
Таким образом, теорема Ферма справедлива для любых целых положительных чисел и вообще для любых положительных чисел, для которых соблюдается условие (6).
– Послушайте, дорогой Мефи! – вскричал Саймон. – Да ведь это же решение! И оно принадлежит вам!
Оба вскочили.
Появившаяся в этот момент с очередной порцией кофе миссис Флэгг побледнела. Дьявол бросил на нее быстрый взгляд и оскорбленно выпрямился.
– Послушайте, Саймон! Если ваша супруга думает, что после нашей увлекательной беседы я еще способен вспомнить о каком-то там договоре…
От редакции ТМ
Для нас очевидно, что придуманное дьяволом доказательство теоремы Ферма неверно – не могут же в преисподней знать математику лучше, чем сами математики! Однако тех, кто считает такого рода публикации напрасным переводом бумаги, нельзя не считать неправыми: во-первых, как мы надеемся, они стимулируют читателя на поиск ошибок и тем самым повышают его математическую культуру. Во-вторых, все формулы в статье В.Латышева мы приводим в «компьютерном» исполнении, то есть так, как принято писать программы на языках высокого уровня. Это не удивительно, поскольку текст продолжения рассказа Артура Порджеса, как и все прочие материалы журнала, набирался именно на компьютере. И чтобы найти упомянутые ошибки, читателю заодно придется приобщиться и к компьютерной грамоте. Чего же еще можно требовать от маленькой журнальной публикации?
источник: Владимир Латышев «Саймон Флэгг и дьявол» «Техника-молодежи» 08-1991
